数学 三角関数が作るカーブ 1



ピタゴラス!!

ということで、この前に自然対数の底、つまりeを使ったカーブを
作ってみたが

http://www.sakaiden.com/?p=4239

これは、綺麗なカーブを描く
この自然体数を使った関数 exp(x) は三角関数にも使われる
ハイパーボリックの事だ

三角関数やらピタゴラスの定理はご存じの通り
ここでも、一回出てきているね
http://www.sakaiden.com/?p=2452

wikiはこちら
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0

三角関数には、色々と数式がでてくるが
数式はあまり気にしなくてイイとおもう

それよりも、三角関数の不思議さに興味をもった方が
算数は楽しいのだ

不思議を簡単にまとめると・・・・

どうやら三角形には”ある決まり”があって
それはどうも、どんな事があっても変わらない

っていう、この宇宙の定理って訳だ

非常に興味深い

ということで、
この三角関数もとい、三角形の”ある決まり”からカーブを作り出すとどうなるか
ためしてみるぞ

やってみるぞー ルキアー!

基本的なリニアカーブ

まずは、基本となるリニアカーブ
三角関数を計算するのに使う、元のカーブだ
このカーブを三角関数に通すと・・・

サイン波

コレはサイン波
三角関数では最も有名だろうな
規則的な周期を繰り返して波を作り出す

基本式は

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

sin(x) * A

[/as3]

計算式にある
posZは、さっきのリニアカーブの値、
そして*50はカーブを見やすくする倍率なのでいくつでも構わない

サイン波は、-1~1の数の間で揺れ動く
この比率は、直角三角形の角度と辺の長さの比率だ
さっきもいっていた、三角形にまつわる”ある決まり”ってやつ

コサイン

ある決まりの一つに有名なものは
三角形の内角の和が180度になるという事だ
つまり、三角形の角度の総和に270度や360度は絶対に無い

でもって、元の話にもどり
これがコサイン

三角関数の3兄弟、サイン、コサイン、タンジェントの一人だ

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

cos(x) * A

[/as3]

コサインも、サインと同じく-1~1の間で揺れ動く
なので、サインとそっくりなのだが、周期が違うのだ

このサインとコサインを使うと
実は綺麗な円運動が作れるんだぞ

コイツはタンジェント

コイツは、タンジェント

[as3]

/*xは角度*/

tas(x)

[/as3]

ごらんの通、不思議な周期のになった
ある一定の値になると、極端な数値が現れる
で、このタンジェントと対をなすアークタンジェントは・・・

アークタンジェント

アークタンジェント
タンジェントとはまた違った結果になった
アークタンジェントでは50付近で急激に変化が起きて
上下90近くで停止する

[as3]

/*xは角度*/

atas(x)

[/as3]

倍率を加えれば
急激に変化する部分をずらすことも出来る

この、ある値から変化しなくなるカーブはほかでも起きる
それが・・・

ハイパーボリック

これだ、
ハイパーボリックサインとハイパーボリックコサインを利用したカーブ
見ての通り倍率で入れた50の値からは変化しない
周期もない

使い勝手は色々とある

計算式は

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

{ sinh(x)/cosh(x) } * A

[/as3]

これはいきなり複雑になった
そもそも、ハイパーボリックの意味は
これではサッパリ分からない

ただ、このカーブの綺麗さは色々と使える

でもってハイパーボリックの計算はというと・・・

ハイパーボリックサイン

まずはハイパーボリックサイン
ある値を超えると上昇と下降がある
計算はコレ

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

sinh(x) * A

[/as3]

では、さらにsinhの中身は何なのか?というと・・・

sinh(x) = {(e^x) – (e^-x)} /2

となるのだ
なんとも、またeが登場したぞ

wikiのハイパーボリック
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

なぜか、Maxでやったら数値は一致しなかった
んー・・・

まぁ気にするな
あっはっはっはっは

ハイパーボリックサインがあるって事は
ハイパーボリックコサインもタンジェントもある

ハイパーボリックコサイン

これがハイパーボリックコサイン
ある値を超えると対照的な上昇部がある
このカーブと、サインの時のカーブの関係が
上昇と下降移行何も変化しないカーブを作り出す

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

cosh(x) * A

[/as3]

中身は・・・・

cosh(x) = {(e^x) + (e^-x)} /2

さらに、タンジェントは

ハイパーボリックタンジェント

これは、不思議
なんか、ちょっと前にみたような
上下の限界値から変化せず
周期もないカーブになった・・・・

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

tanh(x) * A

[/as3]

それも、そのはず
式の中身は

tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)

だからだ!
そりゃー同じになってもわらにゃ困る
よって、上下の限界幅が一定ならば、
ハイパーボリックタンジェントがおすすめだ

ふぅ・・・

まだまだあるぞ!!

この、ハイパーボリックの関係を入れ替えたら
どうなるんだろうな

みてみよう

タンジェントだったら・・

ハイパーボリックタンジェントとタンジェント
この組み合わせだと、こんなカーブになった
ぴょこぴょこ跳ねてるのが面白い

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

(tanh(x) / tan(x) ) * A

[/as3]

これはサイン

これはサインとハイパーボリックサイン
ある数値付近のみ反応している
反応している数値付近では一端波打ってから上昇する

これも面白い動きをしているな

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

(sin(x) / sinh(x) ) * A

[/as3]

ってことは、コサインも同じような反応かな?

コサインの反応

サインと同じような運動になった
が少しだけ違う

上昇するときの運動幅が狭くなっている
面白いな

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

(cos(x) / cosh(x) ) * A

[/as3]

周期があるはずの物と
周期がない物同士が関わるとこうなるんだ

サインとコサインでは・・・

では、サインとコサインを組み合わせると
こうなる

ある数値辺りで上下に反応するが
それ以降は反応しない
ある範囲に入ったときのみ周期が1度だけ発生して
前後に揺れがある

なるほど

[as3]

/*xは角度*/
/*Aは倍率*/

(sin(x) / cosh(x) ) * A

[/as3]

こういいった具合だ

周期が無くなるタイプのカーブと
元のリニアカーブを比較してみると
値の変化がどう起きているか
分かりやすく見られるぞ

カーブ同士のオーバーラップ

こんな具合だ
ある一定値になると反応は終わり、
数値がさがれば戻ってくる

すこし話がずれるが
ある乱れた波形を、一定に位置で切り取るには
こんなんでも良いかもしれない

まさにウェーブハンマーと言ったところか

これを動画にしてみたぞ

110129test

※flvなのでflvプレーヤーで見てくださいね

長かったな!!!

ひとまず、
今回は上下のみの運動に限って三角関数のカーブを使ってみた
これを、縦軸、横軸、幅軸と
三次元に展開したら、いったいどんな動きをするんだろう

立体的に、これらのカーブをくみ上げると
たぶんまた見たこともないような図が出てくるんだな

三角関数だけでも
これだけ色々と動きがあるんだから
ほかの関数もまた興味深いカーブを作り出すのだろう

それはまた今度のお楽しみ


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One thought on “数学 三角関数が作るカーブ