数学 自然数が作るカーブ 2


softIKでも使われている自然数
http://www.sakaiden.com/?p=142

いったいどんな数字かというと
コレは定数であるπと並ぶ、数字の王者だそうだよ
πは小学校で習ったとおり円を描き
そして、自然数はこの宇宙でとりわけ美しい形
”らせん”を作りだす数だ

この自然対数の底をなすのが定数eである
つまり、2.71828……と続く数だ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0

でコイツを旨く使う方法にexp(x)という関数がある
これは、自然対数eを底とする(x)の累乗という関数だ

説明は難しいだろうが
振る舞いはさほど分かりづらいもんじゃない

実際に数字を入れてやってみれば・・・

 exp(3) = e * e * e = 2.71828 * 2.71828 * 2.71828 = 20.0855

ということだぞ
意外に簡単なモンだ

ということは、累乗がマイナスになれば・・・
簡素にまとめれば
累乗のマイナスは逆元同士のかけ算になるので

 exp(-1) = (1/e) * (1/e) * (1/e) 
 = e / e / e = 2.71828 / 2.71828 / 2.71828 
 = 0.367879

ってなかんじ
数値はどんどん小さくなる

ってことは
指数部が正の値ならば、どんどん数値が大きく
指数部が負の値ならば、どんどん小さく0に近づく

その、変化の様子をカーブにしてみると・・・・

カーブを作ると・・・

といった感じで
緩やかなに増えてゆき、最後は急激に値が増えるカーブが出来た

実際、softIKはこのexp関数の特徴を利用して
なめらかにIKが停止するように作成している

ソフトIKの場合は

 この場合は、指数部の正負をひっくり返して
0に近づくにつれて、緩やかなカーブになるようしている

ハイパーボリックなんかでも同じような
美しい曲線カーブを作り出すことができる

単純な放物動作にはもってこいかもしれない
応用は色々と出来そうだが・・・

ひとまず、この間の

磁石みたいなコントローラーにでもつかってみるか


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